Jesús Vázquez urodził się w Méridzie (Badajoz, Hiszpania) i wpisuje się w tradycję rodzimych lewych obrońców, którzy przeszli przez akademię VCF, gdzie przybył w wieku zaledwie 5 lat. Wszechstronny zawodnik, który występował zarówno na pozycji lewego obrońcy, jak i skrzydłowego, piął się po szczeblach kariery w Valencia CF i dotarł do pierwszej drużyny jeszcze w bardzo młodym wieku. Jego debiut w pierwszej drużynie miał miejsce w grudniu 2020 roku, w meczu Copa del Rey przeciwko Terrasa FC, gdy miał zaledwie 17 lat. Jego debiut ligowy nastąpił kilka miesięcy później, we wrześniu 2021 roku, w meczu z Athletic Club na Mestalla. Vázquez jest reprezentantem Hiszpanii do lat 19, a wcześniej grał w drużynach do lat 16, 17 i 18.